تحليل المقادير الجبرية
 |
| الصورة تحتوي علي طرق و أنواع التحليل السبعة التي سندرها فيما بعد و هي : العامل المشترك الأعلي و المقدار الثلاثي بحالاته الثلاثة و الفرق بين المربعين ومجموع و فرق المكغبين و التقسيم و اكمال المربع |
(1)التحليل بإخراج العامل المشترك الأعلي ( ع.م.أ.)
يتم التحليل علي ثلات خطوات :-
1- نوجد العامل المشترك الأعلي بين حدود المقدار و يساوي حاصل ضرب العوامل المشتركة بأصغر أس لها
2-نضع العامل المشترك الأعلي خارج قوسين
3-نقسم المقدار الجبري المراد تحليله علي العامل المشترك الأعلي المذكور و نكتب خارج القسمة دخل القوسين
و يكون التحليل علي الصورة
المقدار = ع.م.ا. × ( خارج قسمة المقدار علي ع.م.ا. )
أمثلة علي ذلك :-
(1) 5 أ + 5 ب – 5 جـ = 5 ( أ + ب – جـ )
(2) 9 س3 – 6 س2 =3 س2(3س-2)
(4)22س3-55س2ص+33س ص2 =11س(2س2-5س ص +3ص2)
(5)6 أ ب2 جـ3 + 4أ3 ب جـ2-2أ ب جـ =2أ ب جـ(3ب جـ2+2أ2 جـ-1)
(6) 2أ( س+2ص)-3ب( س+2ص) = (2أ-3ب)( س+2ص)
(7) س ( أ - ب ) + ص ( ب - أ ) = ( أ - ب ) ( س - ص )
(8) 41 × 36+ 41 × 64
= 41 ( 36+ 64 )
=41×100
=4100
(9) 37 × 147- 37 × 47
=37 ( 147- 47)
=37×100
=3700
(3) 4س+10
= 2(2س+5)
(10) 75 × 32 + 25 × 17 + 75 × 29 + 25 × 44 = 75 × 32 + 75 × 29 + 25 × 17 + 25 × 44
= ( 75 × 32 + 75 × 29 ) + ( 25 × 17 + 25 × 44 )
= 75 ( 32 + 29 ) + 25 ( 17 + 44 )
= 75 × 61 + 25 × 61
= ( 75 +25 ) × 61
= 100 × 61
= 6100
(2)تحليل المقدار الثلاثي : أ س 2 + ب س + جـ
و لدينا ثلاث حالات في هذا النوع من التحليل
البٍســــــــــيط : أ = 1
غير البســــيط : أ ≠ 1
المربع الكامل : وله ثلاث شروط ندرسها فيما بعد
(أ) المقدار الثلاثي البسيط :
س 2 + ب س + جـ = (..)(..)
س 2 تحلل إلي : س × س
نحلل جـ إلي عاملين مجموعهم أو الفرق بينهم = ب
حسب إشارة الحد الثالث موجب أو سالب علي الترتيب
وإذا كانت إشارة الحد الثالث موجبة فالإشارتان داخل القوسين متحدتان و مثل إشارة الحد الأوسط
وإذا كانت إشارة الحد الثالث سالبة فالإشارتان داخل القوسين مختلفتان والأكبر عددياً مثل إشارة الحد الأوسط و الآخر عكسه
أمثلة : -
(1) س 2 + 10 س + 24 = (س + 6)( س + 4 )
(2) س 2 -10س + 24 = (س - 6)( س - 4 )
(3) س 2 + 11 س + 24 = (س + 3)( س + 8)
(4) س 2 - 11 س + 24 = (س - 3)( س - 8)
(5) س 2 + 14 س + 24 = (س + 2)( س + 12)
(6) س 2 - 14 س +24 = (س - 2)( س - 12)
(7) س 2 + 25 س +24 = (س + 1)( س+ 24)
(8) س 2 - 25 س +24 = (س - 1)( س - 24)
(9) س 2 + 10 س - 24 = (س - 2)( س + 12 )
(10) س 2 -10س - 24 = (س + 2)( س - 12 )
(11) س 2 + 5 س - 24 = (س - 3)( س + 8)
(12) س 2 - 5 س - 24 = (س + 3)( س - 8)
(13) س 2 + 2 س - 24 = (س - 4)( س + 6)
(14) س 2 - 2 س - 24 = (س + 4)( س - 6)
(15) س 2 + 23 س - 24 = (س - 1)( س+ 24)
(16) س 2 - 23 س - 24 = (س + 1)( س - 24)
(17) إذا كان ( س + 2 ) أحد عاملي المقدار س 2 + 3 س + 2 فإن العامل الآخر = ....
الحل :
المقـــــــــدار = س 2 + 3 س +2 = (س + 1)( س +2)
العامل الآخــر = س + 1
(18) مستطيل مساحته = س 2 + 5 س +6 ، طوله أكبر من عرضه بمقدار الواحد الصحيح أوجد محيطه، إذا كان محيطه = 14 وحدة مربعة فاوجد طول قطره
الحل :
مساحة المستطيل = س 2 + 5 س +6
مساحة المستطيل = ( س + 2 )(س +3 )
الطـــــــــــــــــــــول = س + 3
العـــــــــــــــــــرض = س+2
محيط المستطــــــيل = 2 × ( الطول + العر ض)
محيط المستطــــــيل = 2 × (س+3 +س+2)
محيط المستطــــــيل = 2 × ( 2 س + 5)
محيط المستطــــــيل = 4 س + 10
محيط المستطــــــيل = 4 1
4 س + 10 = 14
4 س + 10-10 = 14-10
4 س = 4
س = 1
الطــول = 1 + 3 = 4 وحدة طول
العرض = 1 + 2 = 3 وحدة طول
(طول القطر ) 2 = ( الطول ) 2 + ( العرض ) 2
(طول القطر ) 2 = (4 ) 2 + (3 ) 2
(طول القطر ) 2 = 16 + 9
(طول القطر ) 2 = 25
(طـــــول القطر ) = 5 وحدة طول
(ب)المقدار الثلاثي غير البسيط أ س 2 + ب س + جـ = صفر ، أ ≠ 1
نحلل :
أ س 2 الي عاملين في اول القوسين
نحلل : جـ الي عاملين في اخر القوسين
بحيث يكون
مجموع حاصل ضرب الطرفين ، حاصل ضرب الوسطين = الحد الاوسط
أمثلة :-
(1) 3 س 2 + 4 س + 1 = (3 س +1 ) ( س + 1 )
(2) 6 س 2 - 5 س + 1 = ( 2 س - 1 ) ( 3 س - 1 )
(3) 6 س 2 + 13 س + 6 = (2 س + 3 ) ( 3 س + 2 )
(4) 5 س 2 + 7 س - 6 = ( 5 س - 3) ( س + 2 )
(5) 4 س 2 - 5 س - 6 = (4 س + 3 ) ( س - 2 )
(6)2 س 4 +15 س 2 + 7 = ( 2 س 2 + 1 ) ( س 2 + 7 )
(جـ)المقدار الثلاثي المربع الكامل:
شروطه :
1- الحد الأول مربع كامل
2 - الحد الثالث مربع كامل
3- الحد الأوسط = # الجذر التربيعي للحد الاول × الجذر التربيعي للحد الثالث
أمثله :-
(1) س 2 + 2 س + 1 = ( س +1 ) 2
(2) س 2 + 4 س + 4 = ( س +2 ) 2
(3) س 2 - 6 س + 9 = ( س - 3 ) 2
(4) س 2 - 8 س + 16 = ( س - 4 ) 2
(5) س 2 + 10 س + 25 = ( س + 5 ) 2
(6) س 2 - 12 س + 36 = ( س - 6 ) 2
(7) 25 س 2 + 10 س + 1 = ( 5 س + 1 ) 2
(8) 36 س 2 + 84 س + 49 = ( 6 س +7 ) 2
(9) 3 س 2 + 6 س + 3 = 3 ( س +1 ) 2
(10) س 2 - 2 س + 1 = ( س - 1 ) 2
(10) (75) 2 + 2× 75× 25+(25) 2
= ( 75 +25 ) 2
= (100) 2
= 10000
(10) ( 57 ) 2 - 2 × 57 × 37 + ( 37 ) 2
= ( 57 - 37 ) 2
= ( 20 ) 2
= 400
(3)تحليل الفرق بين المربعين
الفرق بين مساحتي أي مربعين = مساحة المستطيل الذي بعداه مجموع طولي ضلعيهما ، الفرق بينهما
القاعدة العامة
س 2 - ص 2 = ( س + ص )( س - ص )
أمثلة :-
( 1 ) س 2 - 4 = ( س + 2 )( س - 2 )
( 2 ) س 2 - 25 = ( س +5 )( س - 5)
( 3 ) س 2 -9 ص 2 = ( س + 3 ص )( س -3 ص )
( 4 ) 49 س 2 - 121 ص 2 = ( 7 س + 11 ص )( 7 س - 11 ص )
( 5 ) 3 س 2 - 12 = 3( س +2 )( س - 2 )
( 6 ) س 4 - 10س2 ص2 + 9 ص 4
= ( س2 - ص2 )( س2 - 9 ص2 )
= ( س - ص )( س + ص )( س - 3 ص )( س + 3 ص )
( 7 ) ( 75 ) 2 - ( 25 ) 2
= ( 75 + 25 )( 75 - 25 )
= 100 × 50
= 5000
( 8 ) ( 999 ) 2 - 1
= (999 + 1 )( 999 - 1 )
= 1000 × 998
= 998000
(4)تحليل مجموع المكعبين و الفرق بينهما
س3 - ص3 = ( س - ص)( س2 + س ص + ص2 )
س3 + ص3 = ( س + ص)( س2 - س ص + ص2 )
أمثلة :-
(1) س3 - 8 = ( س - 2)( س2 +2 س +4 )
(2) س3 + 125ص3 = ( س + 5 ص)( س2 - 5 س ص + 25ص2 )
(3) 27 س3 - 64 ص3 = ( 3س - 4 ص)( 9 س2 + 12 س ص + 16 ص2 )
(4) 343س3 + ص3 = ( 7س + ص)( 49 س2 - 7 س ص + ص2 )
(5) س6 - ص6 = (س3 - ص3)(س3 + ص3)
= ( س - ص)( س2 + س ص + ص2 )( س + ص)( س2 - س ص + ص2 )
(6) س3 - 1 = ( س - 1)( س2 + س + 1 )
(7) س3 + 0.008 = ( س + 0.2)( س2 - 0.2س +0.04 ص2 )
(8) إذا كان ( س - 2) أحد عاملي المقدار :
س3 - 8 فإن العامل الآخر = ...
الحل :
س3 - 8 = ( س - 2)( س2 + 2 س + 4 )
العامل الآخر = س2 + 2 س + 4
(5)التحليل بالتقسيم
يستخدم لتحليل المقادير الجبرية المكونة من أكثر من 3 حدود و فيه نقسم المقدار الي مجموعتين ثم نحلل كل مجموعة بطرق التحليل السابقة لكي يظهر عامل مشترك بين المجموعتين او يلل المقدار كفرق بين مربعين و سنري ذلك في
الأمثلة التالية:-
(1) أس + ب ص + أ ص + ب س
= (أس + أ ص )+( ب ص + ب س)
= أ (س + ص )+ب ( ص + س)
= ( أ + ب ) (س + ص )
(2) أس - ب ص - أ ص + ب س
= (أس - أ ص )+( - ب ص + ب س)
= أ (س - ص )+ ب ( - ص + س)
= ( أ + ب ) (س - ص )
(3)س2 + 2 س ص + ص2 - 25
= ( س + ص )2 - 25
= (س + ص+ 5)(س + ص - 5 )
(6) التحليل بإكمال المربع
الحد الأوسط = # الجذر التربيعي للحد الاول × الجذر التربيعي للحد الثالث
أمثلة :-
( 1 ) س4 + 4 ص4 = ....
الحد الأوسط = # 2 × س2 × 2 ص2
= # 4 س2 ص2
المقــــدار = س4 + 4 س2 ص2 + 4 ص4 - 4 س2 ص2
= ( س2 + 2 ص2 ) 2 - 4 س2 ص2
= (س2 + 2ص2 + 2 س ص ) (س2 + 2ص2 - 2 س ص )
و في النهاية اتمني ان اكون وفقت في تبسيط طرق و انواع التحليل و هي العامل المشترك الأعلي و المقدار الثلاثي البسيط و المقدار الثلاثي غير البسيط و المقدار الثلاثي المربع الكامل و تحليل الفرق بين المربعين و تحليل مجموع المكعبين و الفرق بينهما و التحليل بالتقسيم او التجزئ و التحليل بإكمال المربع و السلام عليكم و رحمة الله و بركاته
قد يعجبك ايضا