كل مذكرات الاستاذ محمود عوض في الرياضيات للمرحلة الإعدادية العامة و الأزهرية

تحليل المقادير الجبرية

الصورة تحتوي علي طرق و أنواع التحليل السبعة التي سندرها فيما بعد و هي : العامل المشترك الأعلي و المقدار الثلاثي بحالاته الثلاثة و الفرق بين المربعين ومجموع و فرق المكعبين و التقسيم و اكمال المربع

(1)التحليل بإخراج العامل المشترك الأعلي ( ع.م.أ.)

يتم التحليل علي ثلات خطوات :-

1- نوجد العامل المشترك الأعلي بين حدود المقدار و يساوي حاصل ضرب العوامل المشتركة بأصغر أس لها

2-نضع العامل المشترك الأعلي خارج قوسين 

3-نقسم المقدار الجبري المراد تحليله علي العامل المشترك الأعلي المذكور و نكتب خارج القسمة دخل القوسين و يكون التحليل علي الصورة

 المقدار = ع.م.ا. × ( خارج قسمة المقدار علي ع.م.ا. )

أمثلة علي ذلك :-

(1) 5 أ + 5 ب – 5 جـ 
      = 5 ( أ + ب – جـ )

(2) 9 س³ – 6 س² 

    =3 س²(3س-2)

(4)22س³-55س²ص+33س ص²

    =11س(2س²-5س ص +3ص²)

(5)6 أ ب² جـ³ + 4أ³ ب جـ²-2أ ب جـ

    =2أ ب جـ(3ب جـ²+2أ² جـ-1)

(6) 2أ( س+2ص)-3ب( س+2ص)

     = (2أ-3ب)( س+2ص)

(7) س ( أ -  ب ) + ص ( ب - أ )

    = ( أ - ب ) ( س - ص )

(8) 41 × 36+ 41 × 64 

     = 41 ( 36+ 64 ) 

     =41×100

      =4100

(9) 37 × 147- 37 × 47 

     =37 ( 147- 47)

      =37×100

      =3700

(3) 4س+10 
     = 2(2س+5)

(10) 75 × 32 + 25 × 17 + 75 × 29 + 25 × 44 

      = 75 × 32 + 75 × 29 + 25 × 17  + 25 × 44                

      = ( 75 × 32 + 75 × 29 ) + ( 25 × 17  + 25 × 44 )     

      = 75 ( 32 + 29 ) + 25 ( 17 + 44 )                            

              = 75 × 61 + 25 × 61 = ( 75 +25 ) × 61  = 100 × 61 
      = 6100 

و هذا ملف فيديو يوضح ذلك النوع من التحليل :

(2)تحليل المقدار الثلاثي :   أ س ² + ب س + جـ

و لدينا ثلاث حالات في هذا النوع من التحليل 

• البٍســــــــــيط  : أ = 1 
• غير البســــيط : أ  ≠ 1
•  المربع الكامل : وله ثلاث شروط ندرسها فيما بعد 

(أ) المقدار الثلاثي البسيط  :  س ² + ب س + جـ = (..)(..)

•  س ²  تحلل إلي : س × س  
• ^{نحلل جـ إلي عاملين مجموعهم أو الفرق بينهم = ب حسب إشارة الحد الثالث موجب أو سالب علي الترتيب} 
• ^{وإذا كانت إشارة الحد الثالث موجبة فالإشارتان داخل القوسين متحدتان و مثل إشارة الحد الأوسط} 
• ^{وإذا كانت إشارة الحد الثالث سالبة فالإشارتان داخل القوسين مختلفتان والأكبر عددياً  مثل إشارة الحد الأوسط و الآخر عكسه أمثلة : -} 

(1)  س ² + 10 س + 24

       = (س + 6)( س + 4 )

(2)  س ² -10س + 24 

      = (س - 6)( س - 4 )

(3)  س ² + 11 س + 24

      = (س + 3)( س + 8)

(4)  س ² - 11 س + 24 

      = (س - 3)( س - 8)

(5)  س ² + 14 س + 24 

      = (س + 2)( س + 12)

(6)  س ² - 14 س +24 

      = (س - 2)( س - 12)

(7)  س ² + 25 س +24 

       = (س + 1)( س+ 24)

(8)  س ² - 25 س +24 

       = (س - 1)( س - 24)

(9)  س ² + 10 س - 24 

      = (س - 2)( س + 12 )

(10)  س ² -10س - 24 

       = (س + 2)( س - 12 )

(11)  س ² + 5 س - 24

        = (س - 3)( س + 8)

(12)  س ² - 5 س - 24 

        = (س + 3)( س - 8)

(13)  س ² + 2 س - 24 

         = (س - 4)( س + 6)

(14)  س ² - 2 س - 24 

        = (س + 4)( س - 6)

(15)  س ² + 23 س - 24 

        = (س - 1)( س+ 24)

(16)  س ² - 23 س - 24 

        = (س + 1)( س - 24)

(17) إذا كان ( س + 2 ) أحد عاملي المقدار 

س ² + 3 س + 2 فإن العامل الآخر = ....

الحل :

  المقـــــــــدار = س ² + 3 س +2 

                   = (س + 1)( س +2)

 العامل الآخــر =  س + 1

(18) مستطيل مساحته =  س ² + 5 س +6 ، طوله أكبر من عرضه بمقدار الواحد الصحيح أوجد محيطه، إذا كان محيطه = 14 وحدة مربعة فاوجد طول قطره 

الحل : 

   مساحة المستطيل =  س ² + 5 س +6

  مساحة المستطيل = ( س  + 2 )(س +3 )

الطـــــــــــــــــــــول = س + 3 

العـــــــــــــــــــرض = س+2

محيط المستطــــــيل = 2 × ( الطول + العر ض)

محيط المستطــــــيل = 2 × (س+3 +س+2)

محيط المستطــــــيل = 2 × ( 2 س + 5)

محيط المستطــــــيل = 4 س + 10 

محيط المستطــــــيل = 4 1

4 س + 10 = 14 

4 س + 10-10 = 14-10 

4 س = 4

س = 1 

الطــول = 1 + 3 = 4    وحدة طول 

العرض = 1 + 2 = 3    وحدة طول 

(طول القطر ) ²   = ( الطول ) ²   + ( العرض )  ² 

(طول القطر ) ²   = (4 ) ²   + (3 ) ² 

(طول القطر ) ²   = 16  + 9

(طول القطر ) ²   = 25

(طـــــول القطر )  = 5  وحدة طول

 و هذا ملف فيديو يوضح ذلك النوع من التحليل :

(ب)المقدار الثلاثي غير البسيط     أ س ² + ب س + جـ = صفر ،  أ  ≠ 1

نحلل :   أ س ²  الي عاملين في اول القوسين

نحلل :  جـ  الي عاملين في اخر القوسين  

بحيث يكون مجموع حاصل ضرب الطرفين + حاصل ضرب الوسطين = الحد الاوسط

أمثلة :-

(1) 3 س ² + 4 س + 1 
       =  (3 س +1   ) ( س + 1  )

(2) 6 س ² - 5 س + 1 
      =  ( 2 س  - 1  ) ( 3  س - 1  )

(3) 6 س ² + 13 س + 6 
      =  (2 س + 3  ) ( 3  س + 2  )

(4)   5 س ² +  7 س - 6 
       =  (  5 س   -  3) ( س  +  2 )

(5)   4 س ² - 5 س - 6 
      =  (4  س  + 3   ) (  س   - 2 )

(6)2 س ⁴ +15 س ² + 7 

     = ( 2 س ² + 1 ) ( س ² + 7 )

  
و هذا ملف فيديو يوضح ذلك النوع من التحليل :

(جـ)المقدار الثلاثي المربع الكامل: 

شروطه : 

 1- الحد الأول مربع كامل 

 2 - الحد الثالث مربع كامل 

 3- الحد الأوسط = # الجذر التربيعي للحد الاول × الجذر التربيعي للحد الثالث

أمثله :-

(1)  س ² + 2 س + 1 

        =  ( س +1  ) ² 

(2)  س ² + 4 س + 4 

         =  ( س +2  ) ² 

(3)   س ² - 6 س + 9 

        =  ( س - 3  ) ² 

(4)  س ² - 8 س + 16

          =  ( س - 4  ) ² 

(5)  س ² + 10 س + 25 

         =  ( س + 5  ) ² 

(6)  س ² - 12 س + 36 

        =  ( س - 6  ) ² 

(7)   25 س ² + 10 س + 1 

      =  ( 5 س + 1  ) ² 

(8)   36 س ² + 84 س + 49 

        =  ( 6 س +7  ) ² 

(9)   3 س ² + 6 س + 3 

        = 3 ( س +1  ) ² 

(10)  س ² - 2 س + 1 

         =  ( س - 1  ) ² 

(10) (75) ² + 2× 75× 25+(25) ² 
         = ( 75 +25 ) ² 
         = (100) ²  
         = 10000

(10) ( 57 ) ² - 2 × 57 × 37 + ( 37 ) ² 
         = ( 57 - 37 ) ² 
         = ( 20 ) ² 
         = 400

و هذا ملف فيديو يوضح ذلك النوع من التحليل : 

(3)تحليل الفرق بين المربعين

الفرق بين مساحتي أي مربعين 
= مساحة المستطيل الذي بعداه مجموع طولي ضلعيهما ، الفرق بينهما 

 القاعدة العامة :

  س ²    -  ص ²   = ( س + ص )( س - ص )

أمثلة :-

( 1 )    س ²    -  4   
           = ( س + 2 )( س - 2 )

( 2 )    س ²    -  25   
           = ( س +5 )( س - 5)

( 3 )    س ²    -9  ص ²   
           = ( س + 3 ص )( س -3 ص )

( 4 )   49 س ²    - 121 ص ²   
           = ( 7 س + 11 ص )( 7 س - 11 ص )

( 5 )    3 س ²    -  12
          = 3( س +2 )( س - 2 )

( 6 )    س ⁴    - 10س²  ص²  + 9  ص ⁴  

          = ( س²  - ص²  )( س²  - 9 ص²  )            

          =  ( س - ص )( س + ص )( س - 3 ص )( س + 3 ص  )

( 7 ) ( 75 ) ²  -  ( 25 ) ² 
        = ( 75 + 25 )( 75 - 25 ) 
        = 100 × 50 
        = 5000

( 8 ) ( 999 ) ²  -  1 
        = (999 + 1 )( 999 - 1 ) 
        = 1000 × 998
        = 998000

و هذا ملف فيديو يوضح ذلك النوع من التحليل :

(4)تحليل مجموع المكعبين و الفرق بينهما

س³  - ص³  
 = ( س - ص)( س²  + س ص + ص² )
.............................................

س³  + ص³  
 = ( س + ص)( س²  - س ص + ص² )

أمثلة :-

(1) س³  - 8 
     = ( س - 2)( س²  +2 س  +4 )

(2) س³  + 125ص³  
     = ( س + 5 ص)( س²  - 5 س ص + 25ص² )

(3) 27 س³  - 64 ص³  
     = ( 3س - 4 ص)( 9 س²  + 12 س ص + 16 ص² )

(4) 343س³  + ص³  
     = ( 7س + ص)( 49 س²  -  7 س ص + ص² )

(5) س⁶  - ص⁶  
      =  (س³  - ص³)(س³  + ص³)

      = ( س - ص)( س²  + س ص + ص² )( س + ص)( س²  - س ص + ص² )

(6) س³  - 1  
      = ( س - 1)( س²  + س  + 1 )

(7) س³  + 0.008   
      = ( س + 0.2)( س²  - 0.2س  +0.04 ص² )

 (8)  إذا كان  ( س - 2) 
      أحد عاملي المقدار : س³  - 8 
       فإن العامل الآخر = ...

الحل : 

س³  - 8  
= ( س - 2)( س²  + 2 س  + 4 )

 العامل الآخر =  س²  + 2 س  + 4

و هذا ملف فيديو يوضح ذلك النوع من التحليل :

(5)التحليل بالتقسيم 

يستخدم لتحليل المقادير الجبرية المكونة من أكثر من 3 حدود  و فيه نقسم المقدار الي مجموعتين ثم نحلل كل مجموعة بطرق التحليل السابقة لكي يظهر عامل مشترك بين المجموعتين او يلل المقدار كفرق بين مربعين و سنري ذلك في الأمثلة التالية:-

(1) أس + ب ص + أ ص + ب س 
      = (أس + أ ص )+( ب ص + ب س) 

      = أ (س +  ص )+ب (  ص +  س)

      = ( أ + ب ) (س +  ص )

(2) أس - ب ص - أ ص + ب س 
      = (أس - أ ص )+( - ب ص + ب س) 

      = أ (س -  ص )+ ب ( - ص +  س)

      = ( أ + ب ) (س -  ص )

(3)س²  + 2 س ص + ص²  - 25

       = ( س + ص )²  - 25 
       = (س + ص+ 5)(س + ص - 5 )

و هذا ملف فيديو يوضح ذلك النوع من التحليل :

(6) التحليل بإكمال المربع 

 الحد الأوسط 

 =  # الجذر التربيعي للحد الاول × الجذر التربيعي للحد الثالث

أمثلة :- 

( 1 ) س⁴ + 4 ص⁴  =  ....

الحد الأوسط  =  #  2 × س² × 2 ص² 

                 =  # 4 س²  ص²  

المقــــدار  = س⁴ + 4 س²  ص²  + 4 ص⁴  - 4 س²  ص²  

                 = ( س² + 2 ص² ) ²  - 4 س²  ص²  

         = (س² + 2ص² + 2 س ص ) (س² + 2ص² - 2 س ص )

و هذا ملف فيديو يوضح ذلك النوع من التحليل :
                      

و في النهاية اتمني ان اكون وفقت في تبسيط طرق و انواع التحليل و هي العامل المشترك الأعلي و المقدار الثلاثي البسيط و المقدار الثلاثي غير البسيط و المقدار الثلاثي المربع الكامل و تحليل الفرق بين المربعين و تحليل مجموع المكعبين و الفرق بينهما و التحليل  بالتقسيم او التجزئ و التحليل بإكمال المربع  و السلام عليكم و رحمة الله و بركاته 

               

تعديل المقال